偶数と奇数の和が必ず奇数になることを証明するには、まずは「偶数」と「奇数」について理解する必要があります。
偶数とは
偶数とは整数のうち２で割り切れる数のことです。言い換えれば偶数とは２の倍数とも言えます。例えば６を考えてみましょう。６は２でも割り切れますし、２の倍数とも言えますね。
そこで偶数を一般化すると、2nになります。2nは全ての偶数を表すというわけです（但しnは整数とします）。
つまり2×整数=偶数なのです。
奇数とは
一方奇数とは、整数のうち２で割り切れない数のことです。言い換えれば２で割ると１余る数が奇数ですから、mを整数とすると、奇数は2m+1で表すことができます。
偶数と奇数の和は奇数になるの証明
ｍ、ｎを整数とする。このとき偶数は2n、奇数は2m+1で表すことができる。
故に、偶数＋奇数は、2n+(2m+1)=2n+2m+1=2(m+n)+1と表すことができる。
ここで、整数＋整数＝整数なので、m+nも整数である。
そして、2×整数=偶数であるから、2(m+n)+1は奇数となり、
偶数＋奇数は奇数である。