数学ⅠA超絶入門【第2回】


[mathjax]

数学について熟考している女性

マジで死ぬほどわかりやすく数学ⅠAを説明するために命を削って書くブログの2回目です!

もし超絶分かりやすく書くことに失敗したら武士?らしく腹切りする所存です。

今回もよろしくお願いします。

筆者:鹿丸(しかまる)

前回の多項式の続きからですね。正直、多項式の基礎事項なんて、つまんない!と怒られてしまいそうですが、数学は、とにかく積み重ねの学問なので基礎の基礎から地球がひっくり返るほど分かりやすく説明しますね。

前回の記事をまだ読んでいない方は数学ⅠA超絶入門【第1回】も参考にしてみて下さい!

それでは多項式の基礎事項についての解説をはじめます!

多項式の同類項をまとめる計算練習

$$x^2-x+3-3x^2+4x-6この多項式の同類項をまとめ簡単にしなさい。$$

同類項というのは次数が同じ項のことです。例えば上記の式で言えば、-xと4xは共に次数が1ですね。なので同類項です。この式を計算するためにはまずは項の順番を同類項に従って入れ替えます。

$$x^2-3x^2+4x-x+3-6$$

これが同類項に注意して項の順番を計算しやすいようにまとめた結果です。

これをさらに計算しやすいように以下のように整理します。

$$(1-3)x^2+(4-1)x+(3-6)$$
$$=-2x^2+3x+(-3)$$
$$=-2x^2+3x-3(答え)$$

どうですか?簡単ですよね。これが多項式の同類項をまとめる計算です。

降べきのの順に整理する

降べきの順に整理するとは、次数の大きい方から小さい方に項を並べ替えることです。

降べきの順に整理するとなんのメリットがあるのでしょうか?

  • 計算がしやすくなる!
  • その後の式変形が楽になる!
  • 問題を解きやすくなる!

メリットいっぱいですね。それでは実際に次の式を降べきの順に整理してみましょう。

$$ax-1+a+2x^2+x$$

うーん、なんともガチャガチャしていて汚い式ですね。確かにこんな式では問題の見通しを立てたり、計算しにくいですね。

では実際に次数の高い方から低い方へ「項」を並べ替えてみましょう。

$$=2x^2+ax+x+a-1$$

ふむ。これでだいぶ見通しが良くなりました。尚、複数の文字を含んでいるときは、何か1つの文字に着目して、それ以外の文字は「数」として扱うのがコツです。

この式の場合、xを文字として扱って、aを数として扱うと綺麗に整理できますよ。

さらにこの式の同類項をまとめて、もっと美しい式にしちゃいましょう。

$$=2x^2+(a+1)x+(a-1)$$

どうですか?最初の式に比べて随分と綺麗な式になりましたね。式を整理することは思考を整理することでもあります。これから先、順番がぐちゃぐちゃな式に出会ったら、是非、降べきの順に整理してから、その問題を解くように心がけて下さい。

 

さてさて、この数学ⅠA超絶入門講座はここで大きく脇道にそれることになります。

その理由は多項式の計算はあまり重しくないので、多項式ばっかりやってると、数学が嫌いになってしまう可能性があるからです。

いかに数学は積み重ねを重んじる学問だと言っても少し脇道にそれたぐらいで、問題は起きません!

なので、ここらでちょっと「数学ってこんなに面白くて美しいんだ!そして不思議に満ち溢れているんだ!」ということを実感してもらうために、多項式の計算をいったんお休みします。

もちろん、後々、多項式の計算の続きもみっちりと、やりますので安心して下さいね!

面白い数学の不思議

突然ですが下記の式を見て下さい。これは数学的に正しい式なのです。

$$0.999999……=1$$

でも不思議ですよね?

0.9999999999999999999999999999999999999999といったいいくつ9が続けば1になる瞬間がくるのでしょうか?

一つ言えることは、9の数が増えるほど、だんだん1に近づいているということです。

だって、0.9よりも0.99の方がより1に近いですよね?それと同じように、0.999の方がもっと1に近いです。

でもいくら無限に9を連ねていっても、いつか1になる瞬間がくるなんて直観的にはちょっと信じられないですよね?

限りなく1に近づくことはあっても1になる瞬間というのは永遠にこない感じがしててなりません。

でもちょっとまって下さい。

$$\frac{1}{3}=0.333333……$$

っていうのは納得いきますよね?

では、ここで次のようにしたらどうなるでしょうか?

$$\frac{1}{3}*3=(0.333333……)*3=0.999999……$$

よく式を観察してみて下さい。おかしいところは何もないですよね?

そして、

$$\frac{1}{3}*3=1=0.999999……$$

小中学生で習うような単純な式で1=0.999999......であることが分かってしまいました。

どうですか多項式の計算よりも面白いですか?

きっと数学の不思議に興奮されたのではないでしょうか(そうだったらいいなぁ♪)?

数学はとてもエキサイティングな科目なのです。

次も、もう少し多項式の計算はお休みして、今度は「整数」について考えてみましょう。きっと多項式の計算をやるより数学への興味を育てることができるはずです!

「整数」入門

整数に入門するにあたってまずは自然数から説明します。

$$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$$

というのが自然数です。ってご存じですよね?でも整数を考える上で先ずは自然数から入る理由があるのです。それは足算と引算です。ちなみに0は整数であって自然数ではないので注意して下さい。

さて、1+2=3、101+100=201と自然数同士の足算の結果は必ず自然数になります。これは当たり前ですが重要なことです。

一方、引算の場合を考えてみましょう。2-1=1は引算の結果が自然数なのでなんの問題もありません。

しかし、しかしですよ。1-2はどうでしょうか。結果は-1になってしまいます。

このことが意味することは、自然数同士の引算の結果は自然数になるとは限らないということです。これが今回のミソです。

自然数だけの世界がもしあったとしたら、足算は自由にできても、引算はできたりできなかったりします。

だって、自然数同士の引算をすると、「0」や「マイナスの数」が出てきてしまうからです。

そこで、「」を拡張して、整数を導入しなければいけなくなります。

整数とは

$$…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…$$

のことです。こうして整数を導入すれば自然数同士の引算も自由自在ですね。

これが整数を説明するために自然数から始めた理由なんです。

納得していただけたでしょうか?

ちなみに「0」は正の数でも不の数でもない整数です。

 

今回は多項式を降べきの順に整理するところからはじめて、数の不思議、整数の導入を扱いました。

次回はもっと整数が楽しくなるような記事にするつもりです。

どうぞ、今後とも数学ⅠA超絶入門をよろしくお願い申し上げます。

尚、次回の数学ⅠA超絶入門【第3回】の更新は、2016年9月27日を予定しております(遅れたらごめんない!)。

 

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